A mesma série em dois universos

O que está acontecendo

Fixe uma base prima p e considere as somas parciais da série geométrica:

Sn = 1 + p + p² + ⋯ + pn−1 = (pn − 1) / (p − 1).

Em análise real, essa sequência cresce sem limite — afinal, os termos pk próprios já vão para o infinito. A distância real até qualquer ponto fixo só pode aumentar.

Na visão p-ádica, a história muda. A regra do jogo é diferente: um número é "pequeno" quando é divisível por uma potência alta de p. Como pn é o caso extremo disso, a soma Sn está a uma distância p-ádica de apenas p−n do número

L = 1 / (1 − p) = −1 / (p − 1).

Quando p = 2, isso dá L = −1: o famoso 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ = −1. Para p = 3, dá L = −1/2. E assim por diante.

Por que os dígitos coincidem da direita para a esquerda

Em qualquer base prima p, a soma infinita 1 + p + p² + p³ + ⋯ tem o dígito 1 em cada casa. Como essa soma vale 1/(1 − p) = L, a expansão p-ádica do limite é L = …1 1 1 1 — todos os dígitos iguais a 1, qualquer que seja o primo. (Em base 2, isso coincide com a expansão de −1; em base 3, é a de −1/2; etc.)

Já Sn = (pn − 1) / (p − 1) tem exatamente n dígitos 1 na cauda direita seguidos de zeros: Sn = …000 1 1 … 1. Comparando dígito a dígito, os n dígitos mais à direita de Sn já são iguais aos de L. A cada passo, ganhamos um dígito de concordância — e isso é exatamente o que |Sn − L|p = p−n está medindo.

O que esse passeio mostra

Convergência é relativa à métrica. A mesma sequência pode divergir num espaço e ser de Cauchy noutro. ℚ tem duas completações naturais — uma para cada noção de "tamanho" — e ℝ e ℚp moram lado a lado, sem hierarquia entre eles. Esse é o ponto de partida do teorema de Ostrowski, dos números p-ádicos e da visão adélica que costura tudo.

Próximas paradas: o post 1 no blog principal formaliza a aritmética de dígitos infinitos pela esquerda e enuncia o teorema de Ostrowski; a brincadeira 02 (em breve) deixa você construir o −1 dígito a dígito.